用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼1，2，3，4，……所表示的數 。 自然數由1開始 ， 一個接一個，組成一個無窮集合。 但是，在小學階段的“整除”部分，仍然不考慮自然數0，因而在約數、倍數等概念中都不包括0。 自然數定義 另外，一般情況下我們不說數0是幾位數，所以最小的一位數是1。
在2000年左右之後的新版中國小教材中，普遍將0列入自然數。 自然數定義2023 等價地說，X 是使三角形 OAB 與三角形 XBA 全等的點。 然而，世界上幾乎所有國家都在小學一年級結束前教授加法。
自然數定義: 整數的歷史
數的第一次使用可回溯到大約西元前三萬年前， 當計數符號被舊石器時代的人使用的時期。 現今所知最早的一個例子在南非的一個洞穴內。 [1]此一系統沒有進位制的概念（如現今所用的十進位制），這使得它表示大數的能力受到了限制。 數（number）是一個用作計數、標記或用作量度的抽象概念，是用以比較同質性或同屬性物件等級的簡單符號記錄形式（或稱度量）。 公元左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。 從歷史上看，國內外數學界對於0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。
所以，在閉區間[0,1]內，無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。 通過上面的例子，我們不難發現，只要是涉及到和「增長」有關的概念，自然常數e就會出現。 在大自然中，無論是生物的生長與繁殖，還是放射性物質的衰變……類似於複利問題這樣的增長方式比比皆是。 不是代數數的實數稱為超越數，例如圓周率。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 代數數的集合是可數的，是因為整係數多項式的集合是可數的，代數數的集合是為所有的整係數多項式的解集合的聯集，且可數無限多的可數集的聯集是可數的之故。
自然數定義: 演算法
自然數可以這樣理解：在計量事物的件數或表示事物次序時所用的數。 即用數碼0，1，2，3，4……所表示的數。 根據上述原因，教材研究編寫人員在對原九年義務教育教材進行修訂和編寫課程標準實驗教材時，依據有關國家標準對自然數的定義進行了修改，規定0屬於自然數。
歐幾里得亦展示如何從梅森質數建構出完全數。 愛拉托散尼提出的愛拉托散尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。 在古埃及人的倖存紀錄中，有跡象顯示他們對質數已有部分認識：例如，在萊因德數學紙草書中的古埃及分數展開時，對質數與對合數有著完全不同的類型。 自然數定義 埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。 為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了關於自然數的兩種理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。
自然數定義: 函數極限
質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。 質數（Prime number），又稱素數，指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1與該數本身兩個正因數的數）。 大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數（也稱為合成數）。 例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。 而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。
所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，我們的教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。 自然數是用以計量事物的件數或表示事物次序的數。 週期蟬屬裡的蟬在其演化策略上使用到質數[44]。 週期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡出現、飛行、交配、產卵，並在至多數週後死亡。
自然數定義: 序數算術
由於我們實作的函數允許在尋找質數的時候去控制數值範圍的起始點，所以不一定會從最小的幾個質數(2, 自然數定義2023 3, 5,...)開始產生。 且由於質數表很可能會缺最前面的幾個質數，所以除了查質數表外，還要用先前介紹的方式去判斷質數來彌補質數表缺的最前面的幾個質數。 減法可以視為一種特殊的加法——減一個數等於加它的加法逆元。 減法本身就是加法的一種逆運算，因為加 x 和減 x 互為反函數。
建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。 0的確是自然數，自然數是用來計數的，也就是表示事物的個數，如果某個東西已經空了一個都沒有，就需要用0來表示。 給定一合數n，給出一個（或全部）質因數的工作稱之為n的因數分解。 橢圓曲線分解是一個依靠橢圓曲線上的運算來分解質因數的演算法。 網際網路梅森質數大搜索及其他用來尋找大質數的分散式運算計畫變得流行，在數學家仍持續與質數理論奮鬥的同時。
自然數定義: 自然數的集合表示
其中的一個例子是在序數間的次序關係的重要性質：所有的序數集合都有一個上確界，這個序數是通過取在這個集合中的所有序數的併集而獲得的。 另一個例子是所有序數的搜集不是集合的事實。 因為所有序數隻會是包含其他序數，從而所有序數的搜集的所有成員也是它的子集。 所以，如果這個搜集是個集合，通過定義它自身將必定是個序數；那麼它將是自身的成員，這跟正規公理矛盾。 所有序數的類通常寫為"Ord"、"ON"或"∞"。 質數（Prime number），又称素数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。
- 最古老的一個例子為愛拉托散尼篩法（見上文），至今仍最常被使用。
- 愛拉托散尼提出的愛拉托散尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。
- 一些機械加法計算器以滑動的方塊的位置表示加數，它們使用平均值槓桿計算加法。
- 在有限的世界裡這兩個概念是一致的，當處理無限集合時人們不得不區分這兩者。
- 這本是一種人為的規定，我國為了推行國際標準化組織(iso)制定的國際標準，定義自然數集包含元素0，也是為了早日和國際接軌。
- 若任一物件基本上均可唯一地分解成較小的部分，則這些較小的部分也會用「質」這個字來形容。
記數系統是指用何種方式來記錄數的系統，可以是符號形式，也可以是實物形式。 無論符號記數還是實物記數， 如今都抽象成了數碼的有序左右排列形式，並且認定左面的數碼是右面數碼的N倍（N是一個大於1的自然數），這就是N進位記數法，簡稱為N進位。 N＝2、3、4、5、8、10、16、...的進位，就分別稱為二進位、三進位、四進位、五進位、八進位、十進位、十六進位、...各種進位數之間可以轉化。 例如二進位的10111和十進位的23可以相互轉化。 人們熟悉十進位，目前電子機器記數使用二進位，將來出現四進位的量子態記數方式也未必可知。 記數系統中使用的占位符號叫數碼，N進位的數碼所代表的數從0到N-1，分別用0、1、2、...
自然數定義: 複數平面
當然我們也完全可以用別的符號，比如漢字，只要你記得住它們的順序就可以了，不過為了後面的方便，我們主要使用上面的1、2、3、4、5、6、7、8和9。 自然數定義2023 記住了順序其實就是給出一個數，能夠知道它的下一個是什麼，比如我們數到3，再數下去就是4。 所以每數一個數，我們就從這個數出發得到了另一個數，也就是它的下一個。 這種從已知的數得到未知的數的過程稱為運算。
加法算式 a + b 可以從代數的角度解釋為一個將 a 與 b 組合起來的二元運算，也可以解釋為向 a 增加 自然數定義2023 b 個單位。 在後一種解釋之下，a、b 兩個操作數是非對稱的，加法算式 a + b 被理解為向 a 應用一元運算 +b。 這種情況下，a 是被動的，因此將 a 稱為「被加數」而不是籠統地稱為「加數」可能更好。 這種一元運算的視角在討論減法時也很有用，因為一元加法是一元減法的逆運算，反之亦然。 2009年，互聯網梅森質數大搜索因為第一個發現具至少1,000萬個數位的質數，而獲得10萬美元的獎金[23]。
自然數定義: 無限性
例如，3位十進位數共有1000個，只能是000～999，不可能出現其他的表示。 如果認定某位置有小數點，這1000個數就可以表示具有小數部分的數。 對稱制中偶進位的負數會比正數多一個， 因而表數正負數的區間不對稱，但N是奇數時，表數區間是對稱的。 在數學課本當中，學生們都學過自然數，無理數和有理數等數學問題。 這些數字經常出現在日常生活當中，比如數數的時候就開始從1，2，3開始數起，但人們就比較疑惑自然數到底是否包括“0”？ 我認為自然數是不包括0的，因為對於大多數人們來說包括我在內，一開始數數的時候都是從一開始數，而不是從0開始數。
或許，加法最基本的解釋就是合併集合：將兩個或以上的不交集組合成一個集合時，組合起來的集合的元素個數即是原來的集合中的元素數量之和。 這個解釋很容易視覺化，也不容易產生歧義。 在高等數學中，這個定義也很有用；它還為以下的嚴密定義奠定了基礎。
自然數定義: 乘法與除法
這並不表示這些詞沒有意義，即使不明確和含有多種意義的詞也有其意義。 7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的0是0，任何數加上0或減去0得任何數。 遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的例項。 目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。 為了國際交流的方便，1993年頒佈的《中華人民共和國國家標準》（gb3100~ ）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。
- 、@來記，其中@代表的數是N-1，是最大數碼。
- 若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。
- 例如，45.1 + 4.34 的計算過程如圖所示。
- 最終，根據馬克思主義哲學矛盾論的觀點，0作為非有它客觀意義，應該編入自然數，故後續中小學教材自然數定義中存在0。
