另外还有复斜方锲形体和二面体锲形体，它们分别是长方体和任意四角六面体的交错。 7種非正四面體（無標記）的對稱性取決於它的幾何特徵。 任何一種非正對稱轉換組都能組成一個三維點群，另外兩種對稱性（C3, [3]+）和(S4, [2+,4+])要求面和棱標記是被允許的。 第一個投影對應著正四面體的A3考克斯特平面（英語：Coxeter plane）。 正如以上所述，正八面體是截半正四面體，在這裡正八面體相鄰的面被塗上2種不同的顏色，在這種情況下，正八面體有正四面體對稱性A3。 在幾何學中，六方偏方面體（英語：Hexagonal Trapezohedron）是一個由12個全等的鳶形組成的多面體，為六角反角柱的對偶。
六面形由六個二角形組成，每個頂點都是六個二角形的公共頂點。 正六面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是六個正二角形的公共頂點，因此正六面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。 部份六面體包含退化的面或者本身已經退化至無法擁有體積的形式。 例如二角反稜柱，其2個底面為二角形，因此退化成一條稜、更進一步的退化六面體有六面形，其由6個二角形組成，本身已退化至無法擁有體積的形式，僅能以球面鑲嵌的形式存在。 如果平面外的頂點在底面的投影正好是多邊形的某個頂點（等價於說平面外的頂點和某個頂點連成的直線垂直於地面），這樣的稜錐稱為直稜錐或直角稜錐。 連接平面外頂點和其投影頂點的側棱垂直於底面，所以包含這條側棱的兩個側面也垂直於底面。
正四面體體積: 八面體半形
該群的子群體現了正八面體更低的對稱性：Td（群階24），截半正四面體的對稱群；D3d（群階12），三角反稜柱的對稱群；D4h（群階16），四角雙稜錐（正四稜柱的對偶）的對稱群；D2h（群階8），三維長菱體（三維長方體的對偶）的對稱群。 雙二角錐是以二角形為底的雙錐體，為二角柱的對偶多面體。 正四面體體積2023 由於其以二角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。 在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙二角錐可以視為多了兩個頂點的四面形。
- 立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。
- 如果原來的稜錐是正稜錐，那麼稜台和正多邊形有相同的對稱結構（同構的對稱群）。
- 这7条线段都是共点的，它们的交点即是四面体的形心。
所有六方偏方面體都有12個面、24條邊和14個頂點[6]。 十二個面的多面體可以是正十二面體、菱形十二面體、正五角帳塔、雙四角錐柱、扭稜鍥形體、十一角錐、十角柱。 正四面體體積 從稜錐的定義可以推知，一個以n邊形為底面的稜錐，一共有n+1個頂點，n+1個面以及2n條邊。 體積（英語：Volume）是指物件佔有多少空間的量。
正四面體體積: 六面體
这7条线段都是共点的，它们的交点即是四面体的形心。 四面体的形心是其蒙日点和外心连线的中点，这3个点一起决定了四面体的欧拉线，这是二维三角形欧拉线的三维类比。 【例5】 在球心的同側有相距為9的兩個平行截面，它們的面積分別為49π和400π，求球的表面積和體積。
當我們強行把這立體繪畫在平面上，總是會產生很大的扭曲。 例如，下圖來自 正四面體體積2023 HKDSE 2012 的選擇題，感覺上 BD 比其他邊稍長，而 ΔABD 和 ΔBCD 亦不似是一個等邊三角形。 利用内接于五复合立方体中立方体的正四面体，我们还可以构造出另外两个基于正四面体的正复合多面体—五复合正四面体（每个立方体只利用一个）和十复合正四面体（每个立方体利用两个）。 考虑到五复合立方体中立方体都是内接与正十二面体的，这两种复合多面体中的正四面体实际上是正十二面体内接的正四面体。
正四面體體積: 十二面體列表
正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 正四面體體積 參考下圖，把 O 點和 A、B、C 三點連接，形成三個小三角形。 綜合各舊試題的題目，假如我們知道正四面體的高和邊長之間的關係，對我們解決這些問題有極大幫助。 从立方体得到正四面体的操作叫“交错”，这种操作将正方体分成5个四面体，其中一个是正的，另外4个是有一个正方体立体角（即从一个顶点发出的3条棱互相正交）的直角四面体（英语：trirectangular tetrahedron）。 角α是連接頂點d和頂點b、c的棱之間的夾角，而β是d到a、c棱的夾角，γ是d到a、b棱的夾角。 2) 把正四面體，沿 C-H 切開成 4 個全等的四面體，考慮該 4 個四面體體積總和就是原來的正四面體體積之類。
稜台是幾何學中研究的一類多面體，指一個稜錐被平行於它的底面的一個平面所截後，截面與底面之間的幾何形體。 截面也稱為稜台的上底面，原來稜錐的底面稱為下底面。 隨著稜錐形狀不同，稜台的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是正方形的稜台稱為方稜台，底面為三角形的稜台稱為三稜台，底面為五邊形的稜台稱為五稜台等等。 稜台是平截頭體的一類，也是更廣義的擬柱體的一種。
正四面體體積: 三角錐
在幾何學中，截角四面體是一種半正八面體，13種阿基米德立體之一，共有8個面、18個邊和12個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。 三个角能属于同一个三角形当且仅当这三个角之和为180°（π弧度）。 那么，12个角要满足什么充分必要条件，才能使其为一个四面体表面的12个角呢？ 首先，我们知道，四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。
除此以外，我們知道正二十面體還是「扭棱正四面體」，因此，正八面體與其也應該有關係。 事實上，我們能夠利用黃金分割從正八面體的棱上得到正二十面體的頂點。 具體操作是：用有向線段代替這個正八面體的各棱，使每個面的3條有向線段恰好首尾相接，構成一圈。 正四面體體積 接著順著每個有向線段的方向將其以黃金比例分割，分割點即是正二十面體的頂點。 如果給定一正二十面體，則有5個不同的正八面體都可用上述操作得到給定正二十面體，這5個正八面體又可構成一複合正多面體，即五複合正八面體。
正四面體體積: 公式
正四面体不同于其它四种正多面体，它没有对称中心。 正四面体有六个对称面，其中每一个都通过其一条棱和与这条棱相对的棱的中点。 通過將不同的頂點置於上式中O點的位置，我們可以得到4個這樣的等式，但實際上，只有最多3個等式是獨立的，因為我們可以將這3個等式的「順時針邊」和「逆時針邊」分別相乘，得到一個新的等式，再消去相同的因式，這樣就能夠通過這3個等式得到第4個等式。 四面體頂點和其對面形心的連線叫做四面體的中線，而四面體一條邊中點和其對邊中點的連線叫做四面體的雙中線，這樣，四面體中一共有4條中線和3條雙中線。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。 它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。 在幾何學中，三角錐是一種底面為三角形的錐體，這種錐體所有形式都與四面體有相同的拓樸結構。 根據角錐的定義，其由一個底面和一個頂點組成，底面的頂點與底面外的頂點相連接，形成與底面邊數相同數量的三角形側面。
正四面體體積: 平行六面體
而三角錐是指底面為三角形的角錐，因此其會有3個側面，合計共4個面，且皆為三角形，因此結構基本上與四面體等價，皆為由四個三角形合成的立體。 由於底面和側面皆為三角形，因此視為三角錐時，可以任一面為底，因此詞彙「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞[1]。 正八面體與星形半正多面體—四面半六面體有著同樣的棱和頂點結構，並且有4個交錯排列的三角形面是相同的，而後者還有3個正交與中心正方形面，它是實射影多面體（即它不可以被描述成球面鑲嵌，而是實射影平面鑲嵌）。
- 在每個這樣的內接正四面體周圍是4個（非正的）四面體，即是與最近的和最遠的正四面體胞相鄰的正四面體胞的投影，填充了內接正四面體與立方體之間的空隙。
- 另一方面，從正四面體各棱中點處截去4個包含原頂點在內的線性大小只有原正四面體一半的正四面體，你也能得到正八面體，也就是說，正八面體是「截半正四面體」。
- 十二個面的多面體可以是正十二面體、菱形十二面體、正五角帳塔、雙四角錐柱、扭稜鍥形體、十一角錐、十角柱。
- 正四面體是柏拉圖立體中唯一一個不存在互相平行的面的。
- 简单描述一下这个公式就是：四面体的体积等于其上两个面的面积与其所成二面角正弦值的乘积除以这两个面共棱的长度的三分之二。
- 7种非正四面体（无标记）的对称性取决于它的几何特征。
- 角α是連接頂點d和頂點b、c的棱之間的夾角，而β是d到a、c棱的夾角，γ是d到a、b棱的夾角。
二角柱是指底面為二角形的柱體，由於其底面為二角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。 在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的二角柱由兩個球面二角形和兩個球面四邊形構成，等價於二角形二面體經截角變換後的結果，因此又可稱為截角二角形二面體。 這種二角柱共有4個面、6條邊和4個頂點，對偶多面體為雙二角錐。 正四面體屬於正四面體家族（該家族都具有相同的或更高的對稱性）。 這些與正四面體相關的半正多面體都是通過3種不同的截形操作（截頂、截棱、截半）和交錯，及其組合構造出來的，其中截半正四面體（正八面體）和全截正四面體（截頂正八面體）擁有更高的正八面體對稱性，而扭棱正四面體（正二十面體）擁有更高的正二十面體對稱性。 正四面體的二次截半將其面截成了頂點，使其成為與原來對偶的正四面體。
正四面體體積: 第三冊全 公式懶人包🔚
正四面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是四個正二角形的公共頂點，因此正四面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。 正四面體體積 四面體具有許多與之二維類比三角形相似的性質，例如，像三角形一樣，四面體也有內切球、外接球、旁切球和中點四面體。 四面體的中點四面體的外接球是三角形九點圓的三維類比，但它並不總是通過原四面體高的垂足。
另外還有復斜方鍥形體和二面體鍥形體，它們分別是長方體和任意四角六面體的交錯。 在幾何學中，稜錐又稱角錐，是三維多面體的一種，由多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。 隨著底面形狀不同，稜錐的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是正方形的稜錐稱為方錐，底面為三角形的稜錐稱為三稜錐，底面為五邊形的稜錐稱為五稜錐等等。 立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。
正四面體體積: 具有其它对称形式的正四面体
在每個這樣的內接正四面體周圍是4個（非正的）四面體，即是與最近的和最遠的正四面體胞相鄰的正四面體胞的投影，填充了內接正四面體與立方體之間的空隙。 在這一投影中，正十六胞體所有的棱都位於投影的凸包上。 四面形由四個二角形組成，每個頂點都是四個二角形的公共頂點。
