如果將向下取樣過程的圖片一張一張疊在一起，會呈現一個金字塔的樣子，因此這個過程稱為高斯金字塔。 拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程裏。 例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。 在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。 應用薛丁格方程式時，必須先給出哈密頓算符的表達式，因此會涉及到計算系統的動能與位能；將算符表達式代入薛丁格方程式，再將所得偏微分方程式加以解析，即可找到波函數。
拉普拉斯算子被称作为梯度的散度，配合上一个知乎回答，这一句话的含义无疑是得到了非常充分的解释与回答，本身一次求导数的结果就是得到了梯度，对梯度进行二次求导并相加，则得到了梯度的散度。 拉普拉斯運算子2023 也就是说，各向同性滤波器是可以维持理论上的旋转不变性的。 拉普拉斯運算子2023 或者，我们将这个filter旋转180°，得到的新的filter和原先的filter具有相同的形式。
拉普拉斯運算子: Laplacian 運算元
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。 解決辦法1：使用更高階數的Laplacian微分。 在(圖12：一階微分，放大20倍後影像)與(圖17：二階微分，放大20倍後影像)中可以看出，放大倍數不變的情況下，愈高階數微分，在觀看上影像更明亮。
從結果上來看， Prewitt 運算元影像銳化提取的邊緣輪廓，其效果圖的邊緣檢測結果比 Robert 運算元更加明顯。 在調和分析中還可以推廣到在局部緊緻的阿貝爾群上定義的傅立葉轉換。 我们知道，在做image processing的过程中，图像可以被看做是一个灰度级取值为[0,255]的matrix。 回想高等数学的概念，我们在求解因变量随着自变量变化过程快慢的时候，用到的衡量标准就是求导数。 而对于连续函数，我们根据导数的求导公式即可求出导数的值，也即知道了函数在改点的变化快慢。 微分幾何中，有多個二階線性橢圓型微分算子稱為拉普拉斯算子（Laplace 拉普拉斯運算子 operator 或 Laplacian）。
拉普拉斯運算子: 定義
表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。 拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。 注意放大下面最右側圖可看到箭頭，由於這裡計算橫豎兩個方向的梯度，因此箭頭方向都是水平或垂直的。 他的吶喊現在看來仍然是先知的警語, 令人深思。
无缝融合图像是以源图像块内的梯度场为向导，将融合边界上目标场景和源图像的差异平滑地扩散到融合图像块中，该操作使得，融合后的图像块能够无缝地融合到目标场景中，并且其色调和光照可以与目标场景保持一致。 18世纪下半叶到19世纪中叶可以说是法国众星璀璨的辉煌时代，彼时彼刻，拿破仑执政，重视科研与教育，涌现出一大批杰出的科学家。 众星闪耀，70 年后，72 个名字刻上了艾菲尔铁塔[1]，拉普拉斯（Laplace, 1749 – 1827）和泊松（Poisson, 1781 – 1840）在列。 以拉普拉斯命名的数学名词有一些[2]，最出名的当属拉普拉斯方程和拉普拉斯变换。 換句話說，拉普拉斯轉換是冪級數的一個連續模擬，只是把離散參數 n 換成了連續變數 t ， x 換成了 e−s。
拉普拉斯運算子: 向量函數
這個極限強調任何位於 0 的質點都被拉普拉斯變換完全捕獲。 雖然在使用勒貝格積分時，我們沒有必要取這個極限，但它讓我們更自然地與拉普拉斯–斯蒂爾吉斯變換（英語：Laplace–Stieltjes transform）建立聯繫。 學任何ㄧ門學問正如人生一樣, 偶而要問一下人生三大問題： 「我從哪裡來？我要往哪裡去？我現在活著要做什麼？」這樣才不致於迷失。 ㄧ門學問的歷史與其本身一樣重要, 從歷史中去揣摩前人想要解決的問題, 為何這問題重要； 還有他們的解決方法, 但最重要的還是去體會他們的心路歷程。 這本書對於向量分析的歷史介紹幾乎是百科全書式的, 裡面有Maxwell, 拉普拉斯運算子2023 Gibbs, $\ldots$ 等人的引言, 讀起來樂趣無窮, 我個人是極力推薦。 藉助於對線電荷對導體圓柱面的鏡像的分析方法，可以對兩半徑相同、帶有等量異號的電荷的平行無限長直導體圓柱的問題進行分析。
- 拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。
- 典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的緩增廣義函數（函數的最壞情形是多項式成長）。
- 因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
- 一般影像擴散處理是將原始影像與二維高斯濾波器進行卷積，這種擴散處理是線性且具有空間不變性的轉換。
- 注意以上的寫法只對特定形式定義的轉換正確，轉換可能由其它方式正規化，使得上面的關係式中出現其它的常數因子。
- 包括可積分函數在內，拉普拉斯變換是單射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。
達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。 拉普拉斯運算子 拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子，並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。 在圖像處理和計算機視覺中，拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測（英語：Blob detection）和邊緣檢測等的各種任務。
拉普拉斯運算子: Canny 運算元
Del算子或稱Nabla算子，在中文中也叫向量微分算子、劈形算子、倒三角算子，符号为∇，是一个向量微分算子，但本身並非一個向量[1]。 Laplacian 運算元分為四鄰域和八鄰域，四鄰域是對鄰域中心畫素的四方向求梯度，八鄰域是對八方向求梯度。 Laplacian 運算元的核心思想：判斷影像中心畫素灰度值與它周圍其他畫素的灰度值，如果中心畫素的灰度更高，則提升中心畫素的灰度；反之降低中心畫素的灰度，從而實現影像銳化操作。 1963年， Roberts 提出了這種尋找邊緣的運算元。 Roberts 邊緣運算元是一個 2x2 的模版，採用的是對角方向相鄰的兩個畫素之差。
而實際上的非等向性擴散則是根據邊界及結構的方向而產生非等向性的區域性濾波器，這種方法又被稱為shape-adapted smoothing或coherence enhancing diffusion。 其產生的影像可以同時進行平滑化並保留原本影像的結構，而這類方法所使用的擴散方程式通常是根據在原始影像中的位置及原始影像的像素值所產生。 拉氏變換和傅里葉變換有關，不過傅里葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。 在物理及工程上常用來分析線性非時變系統，可用來分析電子電路、諧振子、光學儀器及機械設備。
拉普拉斯運算子: 為什麼 空間二階導（拉普拉斯運算元）這麼重要？
但 Smith 已經 46 歲而且他的學養不足以成為新領域的開創者, 有能力的年輕人並不聽從他的建議。 我想最主要的原因是19世紀後半葉數學家的興趣是複變函數論、 解析數論與不變量理論, 而這些豐富的成果已經形成數學界美學與價值觀的標準, 以至於形式上複雜的 Maxwell 方程被拒絕了。 法國數學家、天文學家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學和物理學。
邊緣檢測演算法主要是基於影像強度的一階和二階導數，但導數通常對噪聲很敏感，因此需要採用濾波器來過濾噪聲，並呼叫影像增強或閾值化演算法進行處理，最後再進行邊緣檢測。 拉普拉斯（ Laplacian ）運算元是 n 維歐幾里德空間中的一個二階微分運算元，常用於影像增強領域和邊緣提取。 Prewitt 運算元是一種一階微分運算元的邊緣檢測，利用畫素點上下、左右鄰點的灰度差，在邊緣處達到極值檢測邊緣，去掉部分偽邊緣，對噪聲具有平滑作用。
拉普拉斯運算子: 計算廣義積分
更復雜些的濾波算子一般是先利用高斯濾波來平滑，然後計算其1階和2階微分。 由於它們濾除高頻和低頻，因此稱為帶通濾波器（band-pass filters）。 兩個相異的可積函數，只有在其差的勒貝格測度為零時，才會有相同的拉普拉斯變換。 包括可積分函數在內，拉普拉斯變換是單射映射，將一個函數空間映射到其他的函數空間。 典型的函數空間包括有界連續函數、函數空間L∞(0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區間內的緩增廣義函數（函數的最壞情形是多項式成長）。
因子c是需要的，這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量；如果x方向用寸來衡量，y方向用厘米來衡量，也需要一個類似的因子。 這本書原先有中譯本「誰怕向量微積分」但因版權問題已不再出版。 對於任何函式，假定時，當足夠大時，函式的傅立葉變換就有可能存在，即再根據傅立葉逆變換可得記，，並注意到，於是我們便可得到當，其實就是的傅立葉變換，因此有時候我們稱傅立葉是特殊的拉普拉斯變換[5]。
拉普拉斯運算子: 理論
沿著一階偏微分方程式的特徵線，偏微分方程式簡化為一個常微分方程式。 沿著特徵線求出對應常微分方程式的解就可以得到偏微分方程式的解。 這個式子要用積分的思想去替換，相應的，我們就列出了一個積分方程，既然是方程，下一步當然就是求解其中的未知數。 薛丁格方程式與其解在物理學領域造成思維方面的突破性發展。
因為PDE理論可以告訴我們一些調和（運算元）方程的優良性質，這是一般的微分方程所不具備的。 最簡單的就是調和方程的特徵函數解法，這直接關係到第一特徵值的估計。 Sobel 運算元根據畫素點上下、左右鄰點灰度加權差，在邊緣處達到極值這一現象檢測邊緣。 對噪聲具有平滑作用，提供較為精確的邊緣方向資訊。
拉普拉斯運算子: 使用高斯函數的原因
需要提醒的是拉氏變換在此處只是電學領域極為簡單的應用，後續的自動控制原理及相關專業基礎課即是建立在拉氏變換的基礎上，同樣信號分析與處理亦是建立在傅立葉變換的基礎上。 拉普拉斯算子是二阶微分线性算子，在图像边缘处理中，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，因此在进行图像边缘处理时，直接采用二阶微分算子而不使用一阶微分。 對於其他類似的關於時間、空間的函數都會滿足那個微分等式，因為本質上說，這相當於能量的守恆，而能量守恆這一點，是你我都不會去質疑的。 Del算子在数学中用于指代梯度算符，並可組成散度、旋度和拉普拉斯算子。 它也用于指代微分几何中的联络（可以视为更广意义上的梯度算子）。 對卷積運算的結果用適當的衰弱因子處理並加在原中心畫素上，就可以實現影像的銳化處理。
