以此亂數產生器公式，依序枚舉a₀ a₁ 找因數2023 a₂ …，模n的情況下，最終必定循環。 圖示習慣畫成一個ρ的形狀，演算法因此而得名。 找因數2023 找因數2023 因此，我们不必再从1到原数一半这样查找。
学会找因数是一个学习其他进阶数学知识（如化简分数）的必备技能。 本文列出的方法不一定是最快的，但是更容易描述，更容易学。 记住，因数就是可以把另一个数整除的数。
找因數: 整數的唯一分解定理
在0到p-1之間，找到所有的a，滿足a² - 找因數 n整除質因數p，作為篩法的起點；跳躍間隔皆是p。 為了快速湊出平方數，運用線性代數：向量模2，挑其中幾個向量，XOR等於零。 由於a²必須大於等於n，才能相減得到b²，所以由等於n、略大於n的平方數開始窮舉。
時間複雜度降為O(sqrt(n))。 窮舉a²，計算a² - 找因數 找因數2023 n，判斷是不是平方數。 如果是平方數，便得到了剛好相差n的兩個平方數a²與b²。 平均時間複雜度，似乎可以精確用n表示，但是我沒有研究。 讀者可以逕行上網搜尋「最大質因數分布」、「質因數數量分布」。
找因數: 計算
如果你观察一个数字的各个因数，你可以发现因数总是成对存在。 换句话说，你可以通过一个数的两个特定的因数的乘积 得出这个数。 如果你已经知道了一个因数，你可以用这个数/因数来得出它的另一个因数。 不难看出，一个数的因数，除了它自身以外，不会比自己一半的值大。 例如，64的第二个因数是32，28的第二个因数是14，9的第二个因数是3。
三、為何c最好不是0和-2？ 試試看將亂數產生器公式，代入到x和y之中，計算一下x-y，然後計算一下gcd(abs(x-y), n)。 因數成雙成對（平方根跟自己一對），窮舉一半足矣。 乘法分解的一半：平方根。
找因數: 因數和
比如6是12的因数，但是不是13的。 质因数就是类似2、3、5、7、11、13、17（等等）的数，只能被自己和1整除。 我们要用的例子中要分解6552这个数。 无论你用什么方法，最终得到的任何自然数是只有一个完整的质数因数分解过程的。 為了方便湊出平方數，運用算術基本定理：a² - n實施質因數分解，取次方值，形成向量。 平方數的次方值皆為偶數。
我们可以在原数的平方根处停下来，如果平方根不是整数，我们取小。 有時候剩下的數字很大、仍需數回合才能除盡。 運用此技巧，得以提早納入一些a² - n，提早找到正確答案。 除了自己本身外的因數，稱為 真因數 或 真因子[5][6]（proper divisor）[7][8]。 最後介紹一個加速技巧：剩下的數字，如果不為1，但是數字一樣，此時可以融合得到一組新的B-smooth。
找因數: 因數
本來是尋找剛好相差n的兩個平方數，現在是尋找相差kn的兩個平方數，k是任意整數倍率。 算術基本定理闡述了另一種世界觀，把數字看作是質數的結合。 質數的英文prime有著「原始就有」的意思，便是指質數是所有數字的根本。 例如8和12的最大公因數為4。
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