二角柱是指底面為二角形的柱體，由於其底面為二角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。 七面體 在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的二角柱由兩個球面二角形和兩個球面四邊形構成，等價於二角形二面體經截角變換後的結果，因此又可稱為截角二角形二面體。 這種二角柱共有4個面、6條邊和4個頂點，對偶多面體為雙二角錐。 在幾何學中，平面鑲嵌可以被視為多面的的一種退化成平面的退化形式，即無限面體[15]。 然而諞面鑲嵌或雙曲鑲嵌可以用類似多面體堆砌填充三為歐氏空間的方法來填滿雙曲空間，這種結構稱為蜂巢體[16]，在這種情況下，蜂巢體中的每一個胞皆為一個平面鑲嵌或雙曲鑲嵌[14]，即前面所述的退化多面體或無限面體[17]。
- 部份六面體包含退化的面或者本身已經退化至無法擁有體積的形式。
- 在幾何學中，五角柱是一種多面體，是柱體的一種，是指底面是五邊形的柱體。
- 但不像其二維類比，這個球心位於從蒙日點到外心1/3處。
- 雙二角錐由4個面、6條邊和4個頂點組成，其四個面都是三角形，但拓撲結構與非退化的凸四面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的兩個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。
- 正四面體是不能獨立密鋪三維歐氏空間的，儘管它看上去可能以至於亞里斯多德聲稱它的確是可能的。
- 四面體是由四個三角形面組成的多面體，每兩個三角形都有一個共同的邊，每三個三角形都有一個共同的頂點。
- 因此，平行四邊形就是2維超平行體，平行六面體就是3維超平行體。
- 它們都具有類似的幾何性質，比如它們n維元素都符合一個相同的規律（楊輝三角形），以及它們都是該維最簡單的多胞形（這也是單體英文「simplex」—「簡單的複雜」的來源）。
因此，平行四邊形就是2維超平行體，平行六面體就是3維超平行體。 通過將不同的頂點置於上式中O點的位置，我們可以得到4個這樣的等式，但實際上，只有最多3個等式是獨立的，因為我們可以將這3個等式的「順時針邊」和「逆時針邊」分別相乘，得到一個新的等式，再消去相同的因式，這樣就能夠通過這3個等式得到第4個等式。 下表列出了所有標記可以在其對稱性上遞移的多面體，換句話說，即該多面體皆同時具有等邊、等角和等面的特性。 在不考慮其他空間（如雙曲空間、複數空間）的情況下，麥克馬倫在其論文中共整理並列出了48種正多面體[3]。 以下列表示出了對應四面體的圖案，相同顏色的棱在等距同構對稱轉換中是等價的，而灰色則代表著條邊是不同於任何另外一邊的。
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所有面都全等、所有邊等長且所有角相等的六面體稱為正六面體。 幾何學上的正六面體是立方體，由6個正方形組成，但在抽象幾何學中有另外一種具有6個面的正多面體，是由6個正五邊形組成的半十二面體，但其為抽象多胞形不具有體積。 其他亦存在所有面都全等但其他條件未必符合正多面體的形狀，例如雙三角錐和菱形六面體。 其他也存在許多不規則的六面體，例如四角錐台、五角錐等。 雙二角錐是以二角形為底的雙錐體，為二角柱的對偶多面體。 由於其以二角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。
在所有凸六面體當中，共有七種拓樸結構有明顯差異的凸六面體[1][2][3][4][5] 七面體2023 。 其中五複合四面體是個有手征性的複合多面體（在摺紙藝術中，該複合多面體經常出現）。 完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。
七面體: 定義及特徵
正五角罩帳可以頂面和側面的五邊形都為正五邊形，此時的正五角罩帳所有面都是正多邊形，是一種詹森多面體，也是唯一一個屬於詹森多面體的罩帳[12]。 八面體半形也是一種四面體，可透過將正八面體對映映射後而獲得，它有著正八面體一半的面。 它也可以視為沒有底面的正四角錐，算是一種非嚴格的錐體，換句話說，其為正八面體的一半[7]。 這個體積公式對四個任意的底面的選擇都成立，因此我們可以推斷出對同一個四面體，其一個面上的高與這面的面積成反比。
除此以外，十二點心還是四面體任何一面對應歐拉點和該面垂心連線的中點。 它有三個相關的定義，在傳統意義上，它是一個三維的多胞形，而在更新的意義上它是任何維度的多胞形的有界或無界推廣。 當六個面都是菱形時，則具有等邊多面體的性質，此時稱為菱形六面體。 從立方體得到正四面體的操作叫「交錯」，這種操作將正方體分成5個四面體，其中一個是正的，另外4個是有一個正方體立體角（即從一個頂點發出的3條棱互相正交）的直角四面體（英語：trirectangular tetrahedron）。 7種非正四面體（無標記）的對稱性取決於它的幾何特徵。 任何一種非正對稱轉換組都能組成一個三維點群，另外兩種對稱性（C3, [3]+）和(S4, [2+,4+])要求面和棱標記是被允許的。
七面體: 多面體(數學概念)
我們可以將正八面體沿一條對角線劈開分成4個全等的鍥形體，然後再拿兩個正的與它們堆砌。 正四面體是柏拉圖立體中唯一一個不存在互相平行的面的。 在幾何學中，三角錐是一種底面為三角形的錐體，這種錐體所有形式都與四面體有相同的拓樸結構。
四面體具有許多與之二維類比三角形相似的性質，例如，像三角形一樣，四面體也有內切球、外接球、旁切球和中點四面體。 四面體的中點四面體的外接球是三角形九點圓的三維類比，但它並不總是通過原四面體高的垂足。 七面體 與三角形類似，任何四面體的四個頂點都在同一個球面上。 同樣地，存在一個與四面體的四個面都相切的球，稱為四面體的內切球。 七面體（heptahedron），是指由7個面組成的多面體。 常見的的七面體有六角錐、五角柱、正三角錐柱、Szilassi多面體等多面體。
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例如二角反稜柱，其2個底面為二角形，因此退化成一條稜、更進一步的退化六面體有六面形，其由6個二角形組成，本身已退化至無法擁有體積的形式，僅能以球面鑲嵌的形式存在。 在經典意義上，一個多面體是一個三維形體，它由有限個多邊形面組成，每個面都是某個平面的一部分，面相交於邊，每條邊是直線段，而邊交於點，稱為頂點。 多面體包住三維空間的一塊有界體積；有時內部的體也視為多面體的一部分。 多邊形，多面體和更高維的對應物的一般術語是多胞體。 沒有任何一種七面體是正七面體，也就是說找不到所有面全等、所有邊等長、所有角相等的七面體，有一種等邊的單正的七面體，由四個三角形和三個四邊形組成，其與羅馬曲面（英语：Roman surface）拓樸同構[1][2] 。 三角帳塔罩帳是指底面為三角形的帳塔罩帳，由三角帳塔和三角罩帳以邊數較多的底面互相貼合疊合而成，是一種十七面體。
- 然而諞面鑲嵌或雙曲鑲嵌可以用類似多面體堆砌填充三為歐氏空間的方法來填滿雙曲空間，這種結構稱為蜂巢體[16]，在這種情況下，蜂巢體中的每一個胞皆為一個平面鑲嵌或雙曲鑲嵌[14]，即前面所述的退化多面體或無限面體[17]。
- 與三角形類似，任何四面體的四個頂點都在同一個球面上。
- 這些與正四面體相關的半正多面體都是通過3種不同的截形操作（截頂、截棱、截半）和交錯，及其組合構造出來的，其中截半正四面體（正八面體）和全截正四面體（截頂正八面體）擁有更高的正八面體對稱性，而扭棱正四面體（正二十面體）擁有更高的正二十面體對稱性。
- 所有四面體皆由四個頂點、六條棱和四個面組成，是所有凸多面體中最簡單的。
- 沒有任何一種七面體是正七面體，也就是說找不到所有面全等、所有邊等長、所有角相等的七面體，有一種等邊的單正的七面體，由四個三角形和三個四邊形組成，其與羅馬曲面（英語：Roman surface）拓樸同構[1][2] 。
此外亦存有等邊和等角的七面體，即五角柱，有時會稱為半正七面體，但不會將它看作是阿基米德立體[3]。 沒有任何一種七面體是正七面體，也就是說找不到所有面全等、所有邊等長、所有角相等的七面體，有一種等邊的單正的七面體，由四個三角形和三個四邊形組成，其與羅馬曲面（英语：）拓樸同構[1][2] 。 七面體 部份六面體包含退化的面或者本身已經退化至無法擁有體積的形式。
七面體: 雙曲無限面體
四面體也可以依角的類型分為銳角四面體、鈍角四面體、和直角四面體。 正四面體可以以兩種中心對稱的方式內含於立方體，使得正四面體的頂點交錯著與立方體頂點重和，而正四面體的棱成為立方體6個面的對角線，對應坐標已在上部分給出。 七面體 這兩個正四面體的任意一個都占據了立方體體積的1/3。 另外還有復斜方鍥形體和二面體鍥形體，它們分別是長方體和任意四角六面體的交錯。 沒有任何一種七面體是正七面體，也就是說找不到所有面全等、所有邊等長、所有角相等的七面體，有一種等邊的單正的七面體，由四個三角形和三個四邊形組成，其與羅馬曲面（英語：Roman surface）拓樸同構[1][2] 。
正六面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是六個正二角形的公共頂點，因此正六面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。 在幾何學中，五角柱是一種多面體，是柱體的一種，是指底面是五邊形的柱體。 當它底面是正五邊形時，則稱為正五角柱，若一正五角柱側面是正方形，則他就屬於半正多面體或均勻多面體，因此有時稱為半正七面體。 雖然「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞[1]，但前方加一個「正」字就不一定了，例如正三角錐可以指底面為正三角形的角錐，在這個定義下則是要求四面體的其中一個面要是正三角形；而正四面體則要求四個面都要是正三角形。 三個角能屬於同一個三角形若且唯若這三個角之和為180°（π弧度）。
七面體: 正多面體
考慮到五複合立方體中立方體都是內接與正十二面體的，這兩種複合多面體中的正四面體實際上是正十二面體內接的正四面體。 事實上，正十二面體的對偶——正二十面體可以被看作是半正的扭棱正四面體，擁有正四面體部分對稱性。 正四面體是不能獨立密鋪三維歐氏空間的，儘管它看上去可能以至於亞里斯多德聲稱它的確是可能的。 但是，我們可以將一個正四面體面對面粘到正八面體上得到一個能獨立密鋪空間的菱面體，或者我們可以直接利用正四面體和正八面體兩種多面體去完成一個半正堆砌，即正四面體—正八面體堆砌（英語：demcubic honeycomb）。 但是，一些非正的四面體卻可以勝任，比如複鍥形體堆砌（英語：Disphenoid tetrahedral honeycomb），完整的列表還有待研究。 如果我們不要求參與堆砌的正四面體都是全等的話，可能性會更豐富一些。
正四面體屬於正四面體家族（該家族都具有相同的或更高的對稱性）。 這些與正四面體相關的半正多面體都是通過3種不同的截形操作（截頂、截棱、截半）和交錯，及其組合構造出來的，其中截半正四面體（正八面體）和全截正四面體（截頂正八面體）擁有更高的正八面體對稱性，而扭棱正四面體（正二十面體）擁有更高的正二十面體對稱性。 正四面體的二次截半將其面截成了頂點，使其成為與原來對偶的正四面體。
七面體: 七面體列表
四面形是一種退化的四面體，無法擁有體積，由四個二角形組成。 在球面幾何學中，四面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在，其對偶多面體是四邊形二面體。 沒有任何一種七面體是正七面體，也就是說找不到所有面全等、所有邊等長、所有角相等的七面體，有一種等邊的單正的七面體，由四個三角形和三個四邊形組成，其與羅馬曲面（英語：Roman surface）拓樸同構 。
根據角錐的定義，其由一個底面和一個頂點組成，底面的頂點與底面外的頂點相連接，形成與底面邊數相同數量的三角形側面。 七面體 七面體 而三角錐是指底面為三角形的角錐，因此其會有3個側面，合計共4個面，且皆為三角形，因此結構基本上與四面體等價，皆為由四個三角形合成的立體。 由於底面和側面皆為三角形，因此視為三角錐時，可以任一面為底，因此詞彙「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞[1]。 此外，也存在非常多拓樸結構有明顯差異的十七面體，例如十六角錐和十五角柱。
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三角帳塔罩帳共有17個面、30條邊和15個頂點所組成。 在其17個面中，有2個三角形底面、9個三角形側面、3個矩形側面和3個五邊形側面。 在所有凸十七面體當中，拓樸結構有明顯差異的凸十七面體，包含其鏡射像共有6,415,851,530,241種凸十七面體有著至少11個頂點[6]。 兩者具有不同的拓撲結構是代表他們面和頂點有不同的安排方式，使得其無法單靠扭曲或簡單地通過改變邊或面之間的長度或角度轉換成另一種多面體的多面體。 四面形由四個二角形組成，每個頂點都是四個二角形的公共頂點。
而邊長全部等長的七面體是五角柱，有時會稱為半正七面體。 五角柱是一種底面為五邊形的柱體，由7個面15條邊和10個頂點組成。 正五角柱代表每個面都是正多邊形的五角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個五邊形的公共頂點，因此具有每個角等角的性質，可以歸類為半正七面體。 四面體頂點和其對面形心的連線叫做四面體的中線，而四面體一條邊中點和其對邊中點的連線叫做四面體的雙中線，這樣，四面體中一共有4條中線和3條雙中線。 這7條線段都是共點的，它們的交點即是四面體的形心。
